Numerot kiinni

Me tarvitsemme matematiikkaa. Mutta miten oppisimme sitä?

Numerot kiinni

Me tarvitsemme matematiikkaa. Mutta miten oppisimme sitä?

TEKSTI KALEVI RANTANEN KUVITUS OUTI KAINIEMI

TEKSTI KALEVI RANTANEN KUVITUS OUTI KAINIEMI

Matemaatikot ihmettelevät, miten joku voi pohtia sellaista selviötä kuin matematiikan tarpeellisuus. Milloin tahansa voimme löytää itsemme paikasta, jossa on osattava ajatella määrällisesti ja laskea.

”Sairaan- ja lähihoitajien on osattava laskea lääkeannokset oikein”, muistuttaa Helsingin yliopiston tutkijatohtori Liisa Näveri esimerkkinä.

”Suomessa hoitovirheeseen arvioidaan kuolevan keskimäärin 2-4 henkilöä vuorokaudessa, kun esimerkiksi liikennetapaturmissa kuolee keskimäärin yksi henkilö vuorokaudessa. Huonon laskutaidon salliminen voi siis olla jopa hengenvaarallista.”

Ongelma on todellinen. Näveri on väitöskirjatutkimuksessaan havainnut, että peruskoululaiset osaavat matematiikkaa 2000-luvulla huonommin kuin 1980-luvulla.

Asiantuntijat muistuttavat, että samalla osaamisen tarve on kasvanut, sillä törmäämme matematiikkaan yhä useammin.

Talousasiat ovat mutkistuneet, kun rahoitus- ja sijoitusvaihtoja on tullut lisää. Korkolaskun ja sen matemaattisen taustan, kuten potenssilaskun, hallinnasta on silloin hyötyä. Monelta murheelta voi säästyä tekemällä laskelmia ennen kuin ottaa kantaa superedulliselta näyttävään pikavippi- tai sijoitustarjoukseen.

Elämä teollisessa yhteiskunnassa on yhä enemmän mittarilentoa. On luotettava laskelmiin ja heittäydyttävä lukujen varaan, vaikka intuitio ja tunteet sanoisivat toista. Sama pätee rokotuksen etujen ja riskien arviointiin, ydinvoiman ja ilmastonmuutoksen riskien vertailuun ja lukemattomiin muihin valintatilanteisiin.

Ja keskustelu kiinnostavista asioista muuttuu entistä kiinnostavammaksi, kun matematiikkaa tuodaan mukaan.

Säännöllisesti pohditaan, mikä prosenttiosuus ihmisen lahjakkuudesta riippuu perimästä ja mikä ympäristöstä. Väittelyssä voi loistaa viittaamalla vaikka perinnöllisyystutkija Petter Portiniin, joka sanoo kirjassaan Ne geenit! Ne geenit! (2006):

”Ominaisuudet eivät ole geenien ja ympäristön summa, vaan pikemminkin tulo. [– –] Itse asiassa silti tulokaan ei ole matemaattisena funktiona oikea. [– –] Ainakaan toistaiseksi ei geenien ja ympäristön vuorovaikutusta voida kuvata millään matemaattisella lauseella.”

Voi loistaa, jos kuulijat tietävät, mikä on funktio. Perinnöllisyydestä ja monista muista asioista on vaikea keskustella, koska yhteinen matemaattinen kieli on köyhää.

Rajoittunut on usein myös mielikuva sanan matematiikka sisällöstä. Mieleen tulee jotain ylivaikeaa ja kaikesta muusta irrallaan olevaa.

Opetushallitus antaa verkkosivullaan perinteisen, kapean määritelmän: matematiikka on eksakti menetelmätiede, jonka tosiasiat eivät perustu mittauksiin tai aistihavaintoihin, vaan johdetaan peruslauseista eli aksioomista.

Matemaatikot muistuttavat, että teoreettisen ytimen ympärille on kasvanut laaja ekosysteemi, johon kuuluu yhä useampia tieteitä ja ammatteja.

Luonnontieteiden, tietojenkäsittelytieteen, tilastotieteen, tekniikan ja muiden vanhastaan matemaattisten tieteiden rinnalle ovat tulleet bio- ja yhteiskuntatieteet, jotka matematisoituvat yhä enemmän.

Yhdysvaltojen kansallisen tiedeakate­mian­ tuore raportti The Mathematical Sciences in 2025 kertoo, että pitää välttää jakoa puhtaaseen ja sovellettuun matematiikkaan, koska melkein kaikkea matematiikkaa hyödynnetään jossakin.

Vastaavasti työnjako muodostaa tasaisen jatkumon, jonka toisella reunalla työskentelevät teoreemojen todistamiseen ja laskemiseen keskittyneet matemaatikot.

Toisessa päässä olemme me kaikki, jotka tarvitsemme taitoa ja tottumusta arvioida suuruusluokkia, tehdä vertailuja ja päätelmiä ja muutenkin hyödyntää ympärillä tulvivaa numerotietoa. Puhutaan numerotaidosta tai kvantitatiivisesta lukutaidosta. Kuten tavallista lukutaitoa, numerotaitoa on päivitettävä koko ajan.

Uusien taitojen sisältöä on pohdittu paljon. Yhdysvaltalainen matemaatikko John Allen Paulos luetteli jo vuonna 1988 kirjassaan Numerotaidottomuus eräitä vaatimuksia:

”Kaikkien pitäisi paljon paremmin tuntea [– –] ero kausaliteetin ja korrelaation välillä, ehdollinen todennäköisyys, riippumattomuus ja tulosääntö. [– –] Todennäköisyys [– –] ei enää ole pelkästään matemaatikoita varten. Se tunkeutuu elämäämme joka puolelta.”

Tempputasojen taitojen lisäksi tarvitsemme toimitusjohtajan tietoa matematiikan merkityksestä yhteiskunnassa. Sovellukset, eksoottiset ja arkipäiväiset, löytyvät useimmista menestystarinoista, joilla matemaatikot perustelevat tieteensä tarpeellisuutta.

Pienten lasten magneettiresonanssikuvaus on hankalaa, koska heidän on vaikea pysytellä paikoillaan tai pidättää hengitystään riittävän kauan. Nopea kuvaus taas tuottaa vähän mittaustietoa.

Apuun on tullut harva tai pakattu mittaus­, jonka matemaatikot kehittivät muutama vuosi sitten. Sen avulla vähäisestä datasta saadaan irti yhtä terävä kuva kuin suuresta. Menetelmää on jo käytetty pari vuotta lastensairaalassa Kaliforniassa.

Esimerkki on Yhdysvaltojen kansallisen tiedeakatemian raportista. Se käy läpi toistakymmentä matematiikan alaa, jotka voivat mullistaa elämäämme.

Pakattu mittaus tehostaa lääketieteellisen kuvantamisen lisäksi monenlaisen datan käsittelyä kameroissa, mittauslaitteissa, tietoverkoissa ja muualla.

Laskennallisen biologian menetelmillä uskotaan voitavan selvittää, miten proteiinit laskostuvat. Kokonainen solu pystyttäisiin silloin mallintamaan, lääkekehitys tehostuisi ratkaisevasti ja geeniterapia tulisi lähemmäksi todellisuutta.

Inversio-ongelmien tutkijat selvittävät, miten saada ulkoisten mittausten avulla tietoa kohteiden sisäisestä rakenteesta, kuten maapallosta ja mineraaliesiintymistä sen sisällä, tai aivoista ja muista elimistä. Viime aikoina on saanut julkisuutta vastakkainen sovellus: näkymättömyysviitat, jotka estävät kohteen havaitsemisen.

Talous ja liiketoiminta hyödyntävät matematiikkaa yhä enemmän. Sosiaalisten verkostojen kehittyminen on antanut uutta materiaalia verkkojen matemaattiselle tutkimukselle.

Lopulta matematiikka tunkeutuu alueille, joita tiede on pystynyt tähän mennessä käsittelemään heikosti. Science-lehti kertoi viime vuonna, miten sotien ja muun väkivallan syistä on saatu käyttökelpoista tietoa paljolti tilastollisilla menetelmillä.

Matematiikka on seisova pöytä, jossa on herkkuja joka makuun. Maailmassa ei pitäisi olla yhtään ihmistä, joka pitää matematiikkaa tylsänä tai vastenmielisenä. Tutkimukset kuitenkin kertovat, että matemaattisen osaamisen keskitaso on laskenut.

Eniten huolta Suomessa aiheuttavat päässälasku- ja prosenttilaskutaidot, jotka eivät suurella osalla oppilaita riitä välttämättä edes arkielämän tarpeisiin. Opetushallitus tiedotti huolestaan maaliskuussa.

Asiantuntijat ovat pitkään pelänneet, että osaamisen murentuminen kostautuu lopulta jossakin, kuten turvallisuudessa.

Romahtavista katoista on puhuttu paljon, viimeksi nyt elokuussa, kun Onnettomuustutkintakeskus julkaisi tietoja Laukaan maneesisortuman tutkinnasta.

Matemaatikot varoittivat jo kauan sitten, että tällaista voi tapahtua.

Dosentti Marjatta Näätänen kertoi matematiikkalehti Solmussa vuonna 2006 esimerkin teknillisen oppilaitoksen opettajasta, jota viranomaiset nuhtelivat, koska hän ei suostunut alentamaan matematiikan tasovaatimuksia lujuusopin opetuksessa.

”Kaikki vaan insinööreinä lujuuksia suunnittelemaan vaikkei ole hajuakaan miten lasketaan!” Näätänen pauhasi.

On syytä täsmentää, että puhe on keskiarvoista, joiden ympärillä osaaminen vaihtelee paljon.

”Meillä lujuusoppiin on riittänyt hyviä opiskelijoita”, sanoo professori Jukka Tuhkuri, joka johtaa sovelletun mekaniikan laitosta Aalto-yliopistossa.

”Osaamisen taso ei ole muuttunut. Hajontaa kyllä on entistä enemmän, koska yliopistoon tulee entistä enemmän opiskelijoita. Olisin varovainen, kun arvioidaan osaamista. Keskustelu on joskus turhan suoraviivaista.”

Sovelletun mekaniikan laitoksessa tutkitaan kiinteiden aineiden mekaniikkaa, lujuusoppia ja virtausmekaniikkaa, ja näiden tieteenhaarojen soveltamista lento- ja meritekniikkaan. Voimme yhä olla vakuuttuneita, että edes lentokoneet ja laivat kestävät.

Kun mennään talonrakennuksen puolelle, tulee toisenlaisia arvioita.

”Matemaattisen osaamisen taso on selkeäs­ti laskenut”, sanoo rakenteiden mekaniikan professori Juha Paavola saman Aalto-yliopiston rakennustekniikan laitoksesta. ”Approbatur-tason kursseilla rajoitutaan pelkkään mekaaniseen laskemiseen.”

Jälleen on varottava liian suoria päätelmiä. Johtuvatko kattojen sortumiset virheellisistä lujuuslaskelmista vai jostain muusta, kuten hutiloinnista toteutuksessa?

”Luultavasti taustalla on molempia”, Paavola sanoo.

Tilanne ja tilannearviot vaihtelevat, mutta yleiskuva on selkeä. Matematiikan arvostus yhteiskunnassa on laskenut.

Miksi? Pitää mennä peruskysymykseen:

Kuinka moni oikeasti tarvitsee matematiikkaa?

Turun Akatemiassa toimi 1600-luvulla matematiikan professori Simon Kexlerus. Hän valitti, että almanakat ovat pilanneet matematiikan harrastuksen.

Pappien ammattitaitoon kuului kyky määritellä liikkuvien pyhien ajankohdat tähtitieteellisillä laskentatekniikoilla.

Kirjapainotaito muutti tilanteen. Sen jälkeen yhä enemmän on ulkoistettu erikoisasiantuntijoille.

Terveydenhuollossa meitä kiinnostaa hoidon laatu. Kuvauslaitteita ohjaavia algoritmeja miettivät matemaatikot.

Haluamme, että rakennukset, autot ja lentokoneet pysyvät kasassa. Matematiikan, jolla turvallisuus taataan, jätämme pienelle joukolle lujuuslaskennan ammattilaisia.

Tietotekniikka on paljolti matematiikan ansiosta kehittynyt niin helpoksi, että käyttäjä voi unohtaa tieteen ja tekniikan laitteiden takana.

Korkolaskut ja muun talousmatematiikan voimme delegoida pankkien finanssineuvojille.

Tekeekö siis itse matematiikka matemaattisen yleissivistyksen tarpeettomaksi?

Matemaatikot ja luonnontieteilijät vastaavat sanomalla, että matematiikka on enemmän kuin tekninen väline. Se on yhteiskunnan yleiskieli.

”Matematiikkaa pitää osata puhua”, sanoo yliopistonlehtori Harri Hakula Aalto-yliopiston Miksi matematiikkaa? -videolla.

Ajatusta on toistettu usein. Vuonna 1623 Galileo Galilei lausui esseessä Il Saggiatore, että maailmankaikkeuden kirja on kirjoitettu matematiikan kielellä. Hän varoitti, että tätä kieltä osaamaton kulkee pimeässä labyrintissa.

”Matematiikalla on kaksi roolia”, professori Paavola sanoo.

Ensimmäinen on kyky ratkoa yhtälöitä tarvittaessa. Toinen on matemaattis-loogisen ajattelutavan kehittäminen.

Ongelmat ovat monimutkaisia. Ne on esitettävä yksinkertaistetuilla malleilla. On ymmärrettävä, milloin malli pätee ja milloin ei. Pitää hallita oletus–väite–todistus-ketju. Yliopisto-opetuksen tuloksena on tärkeämpää osata johtaa differentiaaliyhtälöitä tarvittaessa kuin ratkoa niitä.

”Kysytään usein, mihin tarvitaan differentiaaliyhtälöitä. Kysymys on irrelevantti”, Paavola sanoo. ”Yhtälöt ovat tärkeitä matemaattis-loogisen ajattelun kehittämiseksi. Ja ajattelua tarvitaan aina.”

Ajattelusta puhui myös Yhdysvaltojen kansallisen koulutusneuvoston raportti Mathematics and Democracy vuonna 2000. Pystyäkseen osallistumaan päätöksentekoon nyky-yhteiskunnassa ihmiset tarvitsevat matemaattista lukutaitoa.

Raportti viittaa John Deweyhin. Hän toisti 1900-luvun alussa, että demokratia on mahdollista vain silloin, kun yksilöt kykenevät tekemään itsenäisiä päätelmiä.

Itsenäistä ajattelua tarvitaan myös työssä. Suomessa on tutkittu 2020-luvun osaamistarpeita Elinkeinoelämän keskusliiton koordinoimassa Oivallus-hankkeessa.

Viime vuosisadan yhteiskunnassa työn tavoitteet ja menetelmät oli molemmat määritelty useimmiten etukäteen.

Tulevaisuudessa yleistyvät työt, joissa annetaan vain tavoitteet. Paljon tulee myös projekteja, joissa päämäärät ja keinot ovat avoimia. Puhutaan nuotittomista töistä.

Yleiskäyttöisenä ja ikivihreänä välineenä matematiikka istuu hyvin nuotittomaan maailmaan.

Miten sitten oppisimme puhumaan matematiikkaa?

Opettajilla on selkeä käsitys ongelmien syistä ja ratkaisuista.

Leena Mannila opettaa matematiikkaa ja fysiikkaa Eurajoen lukiossa. Hän kysyi koulunsa yhdeksäsluokkalaisilta, miten tärkeänä he pitävät matematiikkaa.

”Minullekin oli yllätys, että lähes sata prosenttia piti matematiikkaa tärkeänä aineena. Perusteluna oli, että matematiikkaa tarvitaan kaikessa: arkielämässä, opiskelussa, työelämässä...”

”Seuraavaksi kysyin, kuinka moni pitää matematiikkaa kiinnostavana. Kiinnostavana piti 48 prosenttia. Loput 52 prosenttia piti matematiikkaa ei-kiinnostavana.”

Mannila, joka on myös Matemaattisten aineiden opettajien liiton MAOLin puheenjohtaja, uskoo, että kyselyssä paljastui yksi vahva syy, miksi tulokset ovat heikentyneet: matematiikka on menettänyt kiinnostavuutensa.

Koululaiset viestittävät: Me ymmärrämme matematiikan arvon. Opettakaa sitä meille paremmin.

Opettajat tietävät, miten opettaa paremmin.

”Kaipaisin luokkiin keskustelua, miksi-kysymyksiä, oppilaiden perusteluja ja selittämisiä, jolloin ymmärrys matematiikan rakenteista kehittyy, soveltaminen helpottuu, matematiikka ei tunnu niin vaikealta ja motivaatio matematiikkaa kohtaan lisääntyy”, sanoo tutkijatohtori Näveri.

Uusi teknologia voi auttaa.

”Näkisin yhtenä ratkaisuna, että matematiikka hyödyntäisi tiede- ja viestintäteknologian maailmaa”, Mannila sanoo.

Opetukseen voisi sisältyä projekteja. Oppilaat voisivat tehdä tilastollisia tutkimuksia ja hyödyntää taulukkolaskentaa. He voivat keksiä aiheita itse, ja mieluimmin itse.

”Kaikkea matematiikkaa ei tietenkään tehtäisi tietokoneella. Peruslaskentaa on harjoiteltava. Esimerkiksi päässälaskutaitoa voidaan testata ja taitoja harjoitella tunnin alussa. Projekteilla mukaan saataisiin motivoiva osa.”

Ongelmana on aikapula.

Mannilalla on vastaus tähänkin: peli- ja media-aikaa voitaisiin käyttää matikkaprojekteihin. Kotitehtävät tulisivat takaisin uudessa muodossa.

”Myös kodit voisivat osallistua kannustamalla matematiikan harjoittamista. Vanhemmat voisivat esimerkiksi ostaa lapsilleen matematiikkaa tukevia pelejä.”

Tuloksia voidaan edelleen parantaa koe­tellulla keinolla: sovitetaan vaatimukset oppijan mukaan. Silloin tarkoitetaan joustavaa ryhmittelyä, siis aivan muuta kuin vanhan ajan tasoryhmiä.

”Esimerkiksi jos oppilas tarvitsee enemmän tukea, niin hänelle tarjotaan sitä”, Leena Mannila sanoo. ”Vastaavasti lahjakkaan tai nopeasti edistyvän oppilaan tulee saada riittävästi haasteita omien oppimisedellytysten ylärajoilla.”

Oppilas voisi siirtyä omien tarpeidensa mukaan ryhmästä toiseen. Mannilan mukaan ryhmittely voidaan toteuttaa lukujärjestysmuutoksin ilman dramaattisia lisäkustannuksia.

Korkeakouluissa Juha Paavola on esittänyt matematiikan uudelleensijoittelua, jolla pakkomatematiikasta päästään eroon. Ammatillinen laskuoppi liitettäisiin ammattiaineiden opintoihin silloin, kun on tarpeen ratkoa yhtälöitä. Varsinaiset matematiikan kurssit pyhitettäisiin niitä haluaville.

Mutta onko meillä sittenkään matemaattisen osaamisen ongelmaa? Suomalaisoppilaathan loistavat Pisa-tutkimuksissa aina parhaiden joukossa.

Otetaan Pisasta mittaa.

Leena Mannila vastaa Pisa-kysymykseen diplomaattisesti: ”Pisa ei varsinaisesti arvioi opetussuunnitelmien sisältöjen osaamista, joten sillä ei voida suoraan mitata laskutaidon heikkenemistä.”

Pisa mittaa enemmänkin matematiikan soveltamistaitoja ja selviämistä käytännön elämän tilanteista.

”Tämä on myös tärkeää. Kyllä Suomi voi olla siinä mielessä ylpeä tuloksista.”

Pisa mittaa osaa taidoista, mutta melkein kaikki ajattelevat, että tulokset kertovat kaiken matemaattisen sivistyksen tilasta.

Toisessa vertailussa, TIMMS-tutkimuksessa, joka mittaa kovaa akateemista osaamista, Suomen koululaiset ovat hyvällä eurooppalaisella tasolla, mutta maailmanlaajuisesti vasta kahdeksannella sijalla.

Todellisuuden ja kuvitelmien välillä on leveä kuilu, mutta se voi pakottaa myös kehitykseen. Kun tuotetta on mainostettu etukäteen, syntyy painetta nousta lupausten tasolle.

Asiantuntijoiden mukaan paljon voidaan tehdä jo pienillä rahallisilla panoksilla, ilman jätti-investointeja.

”Opettajat tarvitsevat täydennyskoulutusta, että voivat pysyä mukana nyky-yhteiskunnan haasteissa mukana”, Mannila antaa esimerkin.

”Koulutusta tulee järjestää opettajien työaikana ja työnantajan tulee korvata koulutuksesta aiheutuneet kustannukset. Tämä voi kuulostaa itsestäänselvyydeltä, mutta sitä se ei ole.”

Kädenvääntöä pienistäkin panoksista tulee nykyisessä taloustilanteessa varmasti, vaikka pitkän aikavälin hyödyt olisivat kuinka selvät.

Talousratkaisuista riippumatta matemaattinen osaaminen säilyy ja kasvaa jossakin laajuudessa. Opetushallituksen tutkimuksissa näkyy selvästi yksi riippuvuus: parhaiten tehtäviä ratkoivat lapset, joiden molemmat vanhemmat olivat suorittaneet ylioppilastutkinnon.

Huippu hankkii osaamista aina. Yleisen matemaattisen lukutaidon kehittyminen riippuu sitten jo poliittisista valinnoista.

Matemaatikot vakuuttavat, että valinnoilla on merkitystä.

Yhdysvaltalainen matemaatikko, minnesotalaisen St. Olaf Collegen professori ja Mathematics and Democracy -raportin päätoimittaja Lynn Arthur Steen on sanonut, että ”numerotaidoton kansalainen on nykyään­ yhtä haavoittuvainen kuin lukutaidoton talonpoika Gutenbergin aikana”. SK